Loss Distribution

Dalam asuransi loss distribution merupakan hal yang sangat penting untuk diketahui, karena dengan mengetahui loss distribution maka kita memiliki kemungkinan untuk dapat memprediksi loss yang akan terjadi di masa-masa yang akan datang.

Dalam membahas loss distribution tersebut perlu kita ketahui kembali suatu konsep dasar dalam statistika yang sangat berperan dalam penentuan loss distribution tersebut yaitu fungsi densitas yang merupakan penentu besar

probabilitas dari suatu interval data, misalnya , dimana f(x) adalah fungsi densitas dari variabel acak x.

Penentuan loss distribution ini dilakukan dengan cara mencocokan kurva fungsi densitas dari data loss dengan kurva fungsi densitas dari distribusi-distribusi standard yang sudah kita kenal seperti : distribusi normal, distribusi lognormal, distribusi pareto, distribusi weibull, distribusi gamma dll. Sedangkan fungsi densitas itu sendiri diperoleh dengan cara penaksiran. Metode penaksiran yang digunakan disini adalah penaksir kernel , yaitu sebagai berikut : 

  , dimana

x       = suatu nilai tertentu

Xi        = variabel acak yang independent dan berdistribusi identik

n       = besar sampel (banyaknya data)

h       = lebar bandwith

K(.)   = fungsi kernel, yaitu fungsi yang mempunyai sifat :

            dan K simetris terhadap titik 0.

            Contohnya Gaussian Kernel : ,   - ¥ < u < ¥

Untuk menaksir fungsi densitas dengan penaksir kernel perlu ditentukan lebar bandwith yang terbaik yaitu nilai minimum antara hopt dan hos , dimana hopt adalah nilai h yang memaksimumkan :

Validasi Silang Kulback Liebler

atau

Validasi Silang Least Square

sedangkan hos adalah suatu batas atas untuk h optimal dari kernel Gaussian

hos = 1.144sn-1/5

Lebar bandwith terbaik inilah yang menjadi lebar bandwith yang digunakan untuk menaksir fungsi densitas suatu data. 

Setelah dengan metoda kernel diperoleh taksiran fungsi densitasnya maka langkah selanjutnya adalah mencari fungsi densitas standard mana saja yang dapat dijadikan sebagai kandidat dari fungsi densitas yang sebenarnya yaitu yang mempunyai kurva yang sesuai dengan kurva dari taksiran fungsi densitas tadi. Dengan cara tersebut akan diperoleh sekelompok kandidat-kandidat fungsi densitas, yang dibutuhkan sekarang adalah suatu metode untuk menentukan pilihan fungsi densitas yang paling tepat dari sekelompok tersebut. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan uji “Goodness of Fit”, antara lain sebagai berikut :

1.      Uji Kolmogorov-Smirnov

Misalkan akan diuji :

Ho :

H1 : tidak demikian

Fn adalah fungsi tangga sehingga untuk kontinu, maksimum tersebut akan diperoleh pada titik lompatan xi atau . Kemudian nilai Dn akan dibandingkan dengan nilai-nilai kritis berikut :

 

       Tingkat Signifikansi                         Nilai Kritis 

                        0.20                                         1.07(n)-0.5

                        0.10                                         1.22(n)-0.5

                        0.05                                         1.36(n)-0.5

                        0.01                                         1.63(n)-0.5

 

Ho ditolak jika Dn > nilai kritis

2.      Uji Ratio Likelihood

Jika fungsi densitas yang satu lebih sederhana dari yang lain yaitu jika yang satu mempunyai jumlah parameter lebih sedikit dari yang lain maka digunakan Uji Ratio Likelihood kemudian dikoreksi dengan “penalty”.

Ho : distribusi yang lebih sederhana lebih baik (1)

H1 : distribusi yang lebih kompleks lebih baik (2)

Statistik Uji yang digunakan adalah :

      ~

dimana :

NLL : Negatif Log Likelihood Negatif dari besarnya fungsi likelihood pada titik maksimum

∆p = Beda dari jumlah parameter pada 1 dan 2

Ho ditolak jika X2 > nilai tabel Chi Square 

Schwartz Bayesian Criterion (SBC)

Jika banyaknya parameter pada fungsi densitas yang satu tidak sama dengan yang lain maka Uji Ratio Likelihood digunakan tetapi perlu ditambahkan penalty pada NLL kemudian membandingkannya. Fungsi densitas yang mempunyai NLL paling kecil adalah fungsi densitas yang dipilih.

Besarnya penalty adalah : rlog(n/2p) dimana r adalah banyaknya parameter dan n adalah besar sampel. Metode ini dikenal dengan Schwartz Bayesian Criterion (SBC).         Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpilkan bahwa untuk mencari fungsi densitas yang terbaik dapat dilihat dari :

- NLL (makin kecil makin bagus)

- Nilai dari Statistik Uji Kolmogorov Smirnov (makin kecil makin bagus)

Setelah diperoleh satu fungsi densitas yang paling tepat dari beberapa kandidat maka distribusi dari fungsi densitas tersebut merupakan distribusi yang kita cari. Sebagai catatan bahwa untuk melakukan perhitungan dengan metode-metode tersebut di atas diperlukan batuan softwear statistik seperti S-Plus, FIT dan lain sebagainya. (Nico/disadur dari bahan Seminar & Workshop Loss Distribution di FMIPA UI tahun 2001).